Halaman
Teorema PythagorasStandar KompetensiMenggunakan Teorema Pythagoras dalam pemecahan masalahKompetensi Dasar3.1 Menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku. 3.2. Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan Teorema PythagorasBab 5
110 Bab. 5 Teorema Pythagoraskarena denganmengingat rumusluas persegi akanmempermudahmempelajari Bab 5ini dengan baik.Pernahkah kamumelihat taman ataulapangan berumputseperti pada gambardi samping?Untuk tahu alasan mengapa itu terjadi, pelajari uraian materiberikut ini.Untuk mempermudah mempelajari materi TeoremaPythagoras, kalian tentu masih ingat tentang luas persegi yangtelah kamu pelajari sebelumnya. Jika diketahui sebuah persegidengan panjang sisi a cm, berapakah luas persegi tersebut?Masih ingatkah kamu tentang rumus luaspersegi? Coba tentukan luas persegi denganpanjang sisi :a. 6 cmb. 5 mJika kamu lupa, coba buka kembali catatanpelajaran sebelumnyaSumber: www.taman.co.idGambar Taman Walaupun dibagian tepinya ada trotoar untuk pejalan kaki,namun orang cenderung berjalan atau melintas di atas rumputsehingga rumput menjadi mati. Walaupun hal itu tidak baikdilakukan, mengapa hal itu cenderung dilakukan orang?Gambar 5.1 Apa yang akan kamupelajari?Menemukan teoremaPythagoras.Menyatakan teoremaPythagoras dalam bentukrumus.Tripel PythagorasKata Kunci:Segitiga siku-sikuPersegiHipotenusaTeorema PythagorasRayhan sedang bermain-main di atas tanah basah. Ia membuatjejak kaki seperti pada gambar 5.1.Rayhan menapakkan kakinya ke arah Selatansebanyak 8 kali, kemudian dilanjutkan ke arah Timursebanyak 6 kali. Dalam menapakkan kakinya,Rayhan menempelkan tumit kaki kirinya pada ujungkaki kanannya, kemudian tumit kaki kanannyaditempelkan pada ujung kaki kirinya, dan seterusnya.Berapa kali Rayhan harus menapakkan kakinya jikaia mulai berjalan langsung tanpa berbelok dari5.1Teorema Pythagoras
Matematika SMP Kelas VIII 111Gambar 5.2 Untuk menghitung berapa kali Rayhan harus menapakkankakinya dari tempat semula ke tempat terakhir, kita gunakankertas berpetak lainnya sebagai bantuan, seperti Gambar 5.3berikut ini.Perhatikan gambar di samping.Dengan menghitung banyaknya kotak,berapakah panjang AC?Apakah 'ABC berupa segitiga siku-siku?Berapa kotakkah luasnya?Dalam segitiga siku-siku, sisi-sisinya terdiridari dua sisi yang saling tegak lurus yangdisebut sisi siku-siku, dan satu sisi dihadapansudut siku-siku disebut sisi miring atau jugadisebut hipotenusa.Pada gambar di atas, sisi siku-sikunya adalah AB dan BC,serta hipotenusanya adalah AC.Perhatikan panjang sisi-sisi 'ABC pada gambar di atas.Apakah hipotenusa 'ABC merupakan sisi terpanjang?Selanjutnya, kita akan belajar mengenai Teorema Pythagoras.Perhatikan kembali gambar 5.3 di atas.CB86AGambar 5.3tempat semula ke tempat terakhir? (Seperti yang ditunjukkanpada garis putus-putus di atas)Jika satu kotak mewakili 1 telapak kaki Rayhan, maka perjalananRayhan dapat dengan mudah digambarkan pada kertas berpetakseperti berikut.
112 Bab. 5 Teorema PythagorasKita gambar suatu persegi dengan sisi AB (8 kotak) padakertas berpetak berwarna merah. Berapakah luas persegidengan sisi tersebut?Gunting gambar tersebut.Gambar 5.4 ACBGambar dan gunting persegi dengan sisiBC (6 kotak) pada kertas berpetakberwarna biru.Berapakah luas persegi dengan sisitersebut?Gambar dan gunting persegi dengan sisiterpanjang yaitu (10 kotak) pada kertasberpetak berwarna kuning. Berapa luaspersegi dengan sisi tersebut?Tempelkan ketiga persegi, berimpitdengan sisi-sisi 'ABC seperti Gambar 5.4.Perhatikan luas ketiga persegi tersebut. Apakah jumlah dualuas persegi yang kecil sama dengan luas persegi terbesar?Kerja Kelompoka)Gambarlah tiga buah segitiga siku-siku ABC denganukuran yang berbeda yaitu:i)AB= 3 satuan, BC= 4 satuanii)AB= 5 satuan, BC= 12 satuaniii) AB= 9 satuan, BC= 12 satuanb)Ukurlah panjang sisi ketiga dari setiap segitiga di atas.c)Lengkapi tabel berikutBangun segitiga ABC AB2 BC2 AC2i) . . . . . . . . . ii) . . . . . . . . . iii) . . . . . . . . . Amati tabel 5.1 di atas! Hubungan apa yang dapat kamusimpulkan?Apakah kesimpulanmu sama dengan kesimpulan berikut ini?Simpulan di atas, disebut sebagai Teorema Pythagoras.dalam segitiga siku-siku berlaku jumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrat hipotenusanya
Matematika SMP Kelas VIII 113Selain diungkapkan dalam bentuk kata-kata, teoremaPythagoras dapat pula dinyatakan dalam bentuk rumus.Perhatikan Gambar 5.5 disamping.'ABC adalah segitiga siku-sikudi B. Panjang sisi siku-sikunyaadalah a dan c sedangkan panjanghipotenusanya adalah b.Tulis hubungan antara a, b dan c.Pythagoras (569-475 S.M) adalahseorang agamawan dan filsuf diYunani yang mengembangkanmatematika, astronomi dan teorimusik.Diketahui 'XYZ siku-siku di Ydengan panjang sisi XY = 7 cm danYZ = 24 cm.a.Gambarlah sketsa segitigatersebutb.Berapakah panjanghipotenusanya?c.Apakah hipotenusa 'XYZmerupakan sisi terpanjang?d.Apakah pada 'XYZ berlakuTeorema Pythagoras?Jawab:a. Gambar segitiga siku-siku XYZ seperti gambar disamping. b.2XY22 + YZXZXZ = r22XYYZXZ = r22247XZ = r625XZ = r 25Karena XZ ukuran panjang, maka yang memenuhiXZ = 25Jadi, hipotenusa 'XYZ adalah XZ = 25 cmc.yad.Karena 'XYZ siku-siku, maka pada sisi-sisi 'XYZberlaku Teorema Pythagoras.24z7xyContoh 1Gambar 5.5 BCcbAaGambar 5.5
114 Bab. 5 Teorema PythagorasCek Pemahaman'KLM pada Gambar 5.6 adalah segitiga siku-sikusama kaki dengan MK = ML = a dan KL = b dantinggi segitiga tersebut adalah c.a.Tuliskan rumus Teorema Pythagoras yangberlaku pada sisi-sisi segitiga KMN.b.Tuliskan rumus Teorema Pythagoras yangberlaku pada sisi-sisi segitiga LMN.Apa yang dapat kamu simpulkan tentang'KMN dan 'LMN? Jelaskan!Pada peta Kalimantan Tengahterdapat tiga kota yaitu kotaKasongan, Sampit, danBukitrawi. Tono akan menempuhperjalanan yang melalui ketigakota tersebut denganmengendarai mobil. Untukmenempuh jarak 12 kmdiperlukan 1 liter bahan bakar.a.Berapa liter bahan bakaryang diperlukan Tono untukmenempuh perjalanan darikota Sampit ke Bukitrawi?Skala 1 : 12.000 Gambar 5.7 Gunakan bantuan penggaris untuk mengukur jarak dua kota pada peta NKLM¬caaGambar 5.6 bSoal 1b.Berapa liter bahan bakar yang diperlukan Tono untukmenempuh perjalanan dari kota Sampit ke Bukitrawimelalui Kasongan?c.Apakah kamu dapat memanfaatkan Teorema Pythagorasdalam menyelesaikan permasalahan di atas? Jelaskan!
Matematika SMP Kelas VIII 115Kalkulator.Untuk menentukan panjang sisi-sisisegitiga siku-siku yang angkanya cukup besar, kamudapat gunakan jenis kalkulator ilmiah. Tentukanpanjang sisi-sisi yang belum diketahui pada setiapsegitiga berikut. Bulatkan sampai dua tempat desimal.a.'ABC dengan AB = 15 cm dan BC = 18 cmb.'KLM dengan KL= 28 cm dan KM = 35 cmc.'PQR dengan QR= 17 cm dan PR = 27 cmPenemuanSegitiga siku-siku ABC mempunyai sisi-sisi siku-siku denganpanjang a dan b, sedangkan panjang sisi miringnya c dengana, b dan c bilangan asli. Lengkapilah tabel 5.2 berikut.A C B abca b ca2b2 c2 =a2+b23 4 5 9 16 .... 5 12 .... .... .... .... 10 ... 26 .... 576 ... .... 8 ... 36 .... .... Sebaliknya jika diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitigaadalah a, b dan c yang memenuhi tripel Pythagoras, makasegitiga tersebut adalah segitiga siku-siku.Soal 2Tripel PytagorasBilanganTripelPytagorasJika a, bdan cpanjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku dengan a, b dan cbilangan asli, maka a, b, cdisebut bilangan Tripel Pythagoras
116 Bab. 5 Teorema PythagorasBila diketahui panjang dari ketiga sisi suatusegitiga, bagaimana caramu menyimpulkan bahwasegitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku ataubukan?Kerja KelompokIkuti langkah-langkah berikut. Jika memerlukan perhitunganyang cukup rumit, kamu bisa gunakan bantuan kalkulator.1.Gambar tiga buah segitiga lancip ABC denganukuran yang berbeda2.Dengan bantuan penggaris, ukur panjang setiap sisipada masing-masing segitiga3.Tentukan sisi terpanjang pada masing-masingsegitiga4.Bandingkan kuadrat sisi terpanjang dan jumlahkuadrat dua sisi yang lainnya untuk masing-masingsegitiga.5.Kesimpulan apa yang kamu peroleh?6.Gambar tiga buah segitiga tumpul ABC denganukuran yang berbeda7.Dengan bantuan penggaris, ukur panjang setiap sisipada masing-masing segitiga8.Tentukan sisi terpanjang pada masing-masingsegitiga9.Bandingkan kuadrat sisi terpanjang dan jumlahkuadrat dua sisi yang lainnya untuk masing-masingsegitiga.10. Kesimpulan apa yang kamu peroleh?Dengan melihat kuadrat sisi-sisi suatu segitiga, berapa jenissegitiga yang dapat kamu temukan? Jelaskan!KebalikanTeoremaPytagorasJika a, bdan cpanjang sisi-sisi suatu segitiga yangmemenuhi persamaan a2 + b2 = c2 denganc adalah sisi terpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku
Matematika SMP Kelas VIII 1171.Perhatikan bangun segi empat ABCD disamping.a.Sebutkan segitiga-segitiga siku-sikuyang terdapat pada segi empatABCD.b.Sebutkan sisi siku-siku danhipotenusa dari masing-masingsegi-tiga siku-siku pada soal (a).c.Apakah ketiga segitiga siku-sikupada gambar 5.8 tersebutmempunyai tinggi yang sama?knmplDCBEAII IIII ¼Gambar 5.8 ACBDFEYZXPRQa.b.c.d.Latihan 5.12.Perhatikan bangun pada soal nomor 1 di atas.AB = k, AD = l, DC = m, BC = n dan BD = p.a.Tuliskan Teorema Pythagoras yang berlaku untuksisi-sisi segitiga siku-siku bagian I.b.Tuliskan Teorema Pythagoras yang berlaku untuksisi-sisi segitiga siku-siku bagian II.c.Tuliskan Teorema Pythagoras yang berlaku untuksisi-sisi segitiga siku-siku bagian III.3.Sebutkan sisi-sisi siku-siku dan hipotenusa dari segitiga-segitiga siku-siku pada gambar di bawah ini:
118 Bab. 5 Teorema Pythagoras4.Tentukan panjang hipotenusa segitiga-segitiga siku-sikuyang panjang sisi-sisinya seperti berikut:a.13, 12, 5b. 8, 15, 17c.5, 4, 3d. 3p, 4p, 5p5.Tulislah hubungan antara panjang sisi-sisi setiap segitigaberikut.rqpzxyrtsmlk6.Penemuan Perhatikangambar layang-layangABCD seperti padagambar di samping.Panjang diagonal-diagonalAC dan BD secaraberturut-turut adalah r dans. Sedangkan panjang ABdan AD adalah p dan q.Rumuskan TeoremaPythagoras yang berlakupada bangun di samping.Coba temukan rumus luaslayang-layang ABCD!7.Tentukan 3 kelompok bilangan yang merupakanbilangan Tripel Pythagoras.8.Pada segitiga ABC, diketahui panjang AB = 6 cm,AC = 8 cm dan BC = 10 cm. Berbentuk apakah segitigaABC tersebut? Mengapa?qpa. b.c. d.
Matematika SMP Kelas VIII 1199.Pemecahan MasalahJika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan csisi terpanjang tetapi a, b dan c tidak memenuhi bilanganTripel Pythagoras, apa saja kemungkinan bentuk segitigatersebut?Petunjuk: a) Jika a2 + b2 < c2, berbentuk apakah segitiga tersebut?b) Jika a2 + b2 > c2, berbentuk apakah segitiga tersebut?10. Diketahui 'ABC dengan panjang sisi-sisinya 6 cm,11 cm, dan 14 cm.a.Berapakah panjang sisi terpanjang dan tentukanpula kuadrat dari panjang sisi tersebut.b.Tentukan jumlah kuadrat dari dua sisi selain (a).c.Bandingkan (a) dan (b).d.Segitiga apakah ABC itu?e. Apakah 6, 11, dan 14 merupakan bilangan TripelPythagoras? Jelaskan jawabanmu!11. Diberikan panjang sisi-sisi dari sebuah segitiga sepertidi bawah ini. Selidikilah berupa segitiga lancip, siku-siku atau tumpulkah segitiga yang mempunyai panjangsisi-sisi seperti berikut.a.2,52, 4b.11, 12, 15c.21, 15, 8d.31, 23, 12
120 Bab. 5 Teorema Pythagoras2Jika kita melihat peta letak kepulauan-kepulauanAru, Kei dan Tanimbar yang termasuk dalampropinsi Maluku, maka letak ketiga Pulautersebut seperti di bawah ini.Pada peta, jarak antara kota Yerdera (pada Kep. Arudisimbolkan dengan huruf A) dan kota Tual (pada Kep.Kai disimbolkan dengan huruf K) adalah 3 cm, dan jarakantara kota Tual dan kota Saumlaki (pada Kep. Tanimbardisimbolkan dengan huruf T) adalah 4 cm. Berapakah jarakantara kota Yerdera (A) dengan kota Saumlaki (T) pada peta?Jika pada peta ketiga pulau tersebut dihubungkan akanmembentuk bangun segitiga siku-siku. Jadi pada sisi-sisinyaberlaku Teorema Pythagoras.AT2=AK2 + KT2=32 + 42=25AT =r25 = r 5Yang memenuhi AT = 55.2Teorema PythagorasApa yang akan kamupelajari?Menghitung panjangsalah satu sisi segitigasiku-siku jika dua sisilainnya diketahui.Memecahkanmasalah padabangun datar yangberkaitan denganTeorema Pythagoras.Kata Kunci:xHipotenusaxTeorema PythagorasxDiagonal SisixDiagonal RuangIngat !a2=pa = prKATGambar 5.9
Matematika SMP Kelas VIII 121Jadi dalam gambar, jarak antara kota Yerdera (Kep. Aru)dan kota Saumlaki (Kep. Tanimbar) adalah 5 cm.Terdapat dua kapal motor “Sejahtera” dan “ Selamat” akanmenempuh perjalanan dari Kota Yerdera ( Kep. Aru )ke kota Saumlaki (kep. Tanimbar) dengan kecepatanyang sama tetapi rute yang berbeda. Dengan mengetahuijarak antara Kep. Aru dan Kep. Tanimbar, kapal motormanakah yang lebih cepat sampai di tujuan, kapal motorpenumpang “Sejahtera” atau kapal motor penumpang“Selamat” ?Dengan adanya teorema Pythagoras yang berlaku untuk sisi-sisi segitiga siku-siku, kita dapat menyelesaikanpermasalahan atau persoalan-persoalan yang berkaitandengan bangun ruang maupun bangun datar.Perhatikan gambar Kubus ABCD.EFGH di samping. Panjangrusuk kubus adalah 6 cm. Tentukan:HGFEDCBAGambar 5.10Pengecatan Dinding. Pak Yales akan mengecat langit-langit sebuah gedung. Untuk pekerjaan mengecattersebut, Pak Yales menggunakan bantuan tanggasepanjang 3 m.Tangga tersebut disandarkanpada dinding sepertipada gambar 5.11 di samping.Gambar 5.11Tangga bersandar padadindingSoal 1Ingat !ba2=a2.b= aba.panjang diagonal sisi ABCDb.diagonal-diagonal lain yang mempunyaipanjang sama dengan (a)c.panjang diagonal ruang AGd.diagonal-diagonal ruang lain yangmempunyai panjang sama dengan (c)e.Berapa banyak diagonal sisi yang dapatkamu temukan dalam Kubus?Berapa banyak diagonal ruang yang dapatkamu temukan dalam Kubus?
122 Bab. 5 Teorema Pythagoras1.Diketahui sebuah persegi ABCD dengan panjang sisi10 cm. Berapakah panjang diagonalnya ?2.Diketahui 'ABC samakakiseperti gambar di sampinga.Titik D merupakanpertengahan AC.Tentukan panjang ADdan CD.b.Gunakan 'ABC untukmenentukan tinggi'ABC, yaitu BD.c.Tentukan luas 'ABC.3.Sebuah tangga beton seperti gambar di bawah iniBAC10 cm12 cmDBerapakah tinggi tangga dari permukaan tanah?4.Pemecahan Masalah.Boas akan menanam pohon disekeliling kebunnya yang berbentuk seperti gambar disamping. Jarak antara pohon yang satu dengan yang lainadalah 1 m.Latihan 5.2a.Gunakan 'CDE untuk menentukanpanjang AB, karena ECAB.b.Tentukan keliling kebun,untukmenentukan banyaknyapohon yang harus ditanam olehBudi.AEDCBª14125mmm34 m 38 m4 mSumber: Dit. PSMP, 2006
Matematika SMP Kelas VIII 12313EDCBAº¼20NMLK2513ª¬Tª¼SRQP810Ub.a. c. d.10CBA5ED6.Setiap pagi Budi berjalan kaki dari rumahnya menujuke sekolah. Dari rumah, Budi berjalan sejauh 0,5 kmke arah Timur, kemudian dilanjutkan 2 km ke arahUtara. Berapakah jarak terdekat sekolah dari rumahBudi?7.Pak Sitorus mempunyai kebun berbentuk segi-empat seperti pada gambar di samping yang akanditanami sayuran.a.Gambarlah kebun Pak Sitorus.b.Bagaimanakah caramu mencari luas kebun PakSitorus? Jelaskan jawabanmu!c.Berapakah banyaknya pupuk yang harus dibeliPak Sitorus, jika 1m2 lahan memerlukan pupuk0,5 kg?10 m39 m25 mKebun Pak Sitorus terlihat dari udara Gambar 6.25.Berapakah luas daerah dari bangun-bangun di bawahini.
124 Bab. 5 Teorema PythagorasInternet Untuk mengetahui informasi tentang Teorema Pythagoras, silakan akses internet dengan alamat: http://www.nobrassmusic.com atau http://www.philosophyprofessor.comRefleksixSetelah kamu mempelajari materi ini, adakah bagian yangtidakkamu mengerti? Jika ada, coba diskusikan dengantemanmu.xBuatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu pahamidan catatlah hal-hal yang sulit kamu pahamixCoba jelaskan:a.Pengertian Hipotenusab.Teorema Pythagorasc.Tripel Pythagorasd.Kebalikan Tripel PythagorasxBerikan contoh kegunaan teorema Pythagoras dalamkehidupan sehari-hari.xDengan mengetahui panjang ketiga sisi sebuah segitiga,dapatkahkamu menentukan jenis segitiga tersebut?Jelaskan!Apa komentarmu tentang pembelajaran materi Pythagoras(senang, membosankan, mudah dimengerti atau lainnya)?Sampaikan hal itu kepada bapak/ibu gurumu!RangkumanxPada segitiga siku-siku, sisi dihadapan sudut siku-sikudisebut sisi miring atau juga disebut hipotenusa.xTeorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku berlakujumlah kuadrat sisi siku-sikunya sama dengan kuadrathipotenusanyaxJika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-sikudengan a, b dan cbilangan asli, maka a, b, c disebutbilangan Tripel PythagorasxJika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga yangmemenuhi persamaan a2 + b2 = c2 denganc adalah sisiterpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-sikuxJika a, b dan c panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan c sisiterpanjang tetapi a, b dan c tidak memenuhi bilangan TripelPythagoras, terdapat dua kemungkinan bentuk segitiga: Jika a2 + b2 < c2, maka 'ABC segitiga tumpul Jika a2 + b2 > c2, maka 'ABC segitiga lancip
Matematika SMP Kelas VIII 1251.Yang merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga suku-sikuadalah ....a.5, 5, 7b.8, 15, 17c.7, 24, 25d.8, 12, 152.Luas trapesium pada gambar disamping adalah ....a.149,5 cm2b.182 cm2c.299 cm2d.364 cm23.Jika segitiga siku-siku KLM dengan panjang sisi-sisi siku-sikunya 4 cm dan 6 cm, maka panjang hipotenusa dari'KLM adalah ....a.26 cmb.213 cmc.10 cmd.52 cm4.Berikut ini diketahui panjang sisi-sisi beberapa segitiga.Yang merupakan segitiga lancip adalah segitiga denganpanjang sisi ....a.5, 5, 9b.7, 7, 10c.6, 8, 9d.5, 12, 1318 cm 12 cm5 cm AFHBGCED15 cm 12 cm 8 cm 5.Panjang diagonal ruangDF pada balok ABCD.EFGHdi samping adalah....a.15 cmb.17 cmc.353 cmd.433 cm6.Tulislah hubungan antara panjang sisi-sisi setiap segitigaberikut.a.b.zyxrqpEvaluasi Bab 5
126 Bab. 5 Teorema Pythagoras7.Berikan dua contoh tripel Pythagoras.8.Diberikan panjang sisi-sisi dari sebuah segitiga seperti dibawah ini. Selidikilah apakah akan membentuk segitigalancip, siku-siku atau tumpul.a.7, 7, 72b.8, 12, 20c.21, 15, 8d.5, 6, 99.Tentukan panjang sisi-sisi a,b, c, d, dan e, pada gambardi samping.10. Pak Budi mempunyai kebunseperti pada gambar disamping. Kebun tersebutakan ditanami jagung. Setiapmeter persegi lahandiperlukan 5 gram benihjagung dengan hargaRp7.000,00 tiap 1 kg.Berapakah biaya yang harus dikeluarkan pak Budi untukmembeli benih untuk kebunnya?¬edcba1AEDCBª14125mmm